التكامل – المتخصصة

التكامل :-

هو عملية عكسية للتفاضل ، لكي تعرف التكامل لابد ان تتعرف على التفاضل فالتفاضل هو ((إيجاد المشتقة من الدوال)) إذاً تعريف التكامل هو (( إيجاد الدوال من مشتقاته ))

خطوات الحل :-

التفاضل  التكامل     دالة  مشتقةص= أسن+ جـ   تكون العملية :  تكون العملية (عكسية) ضرب ، طرح  جمع ، قسمةنحول الدالة الى مشتقة :  نحول المشتقة الى دالةدصدس = أ × ن سن١          دصدس = ص   أ ن سن١ . دس   أ ن سن١+١ ن١+١ + ث   أ سن + ث   حيث ث يمثل ثابت المشتقة قبل التكامل ويسمى (( ثابت التكامل ))

مثال :-

٥س٣ + ٢س  ٧ . دس الحل :٥٤ س٤ + ٢٢س٢  ٧س + ث٥٤ س٤ + س٢  ٧س + ث

 

تكامل النسب المثلثية:-

جا أ س . دس = ١أ جتا أ س + ث جتا أ س . دس = ١أ جا أ س +ث قا٢ أ س . دس = ١أ ظا أ س + ثقتا٢ أ س . دس = ١أ ظتا أ س + ثقا أ س ظا أس . دس = ١أ قا أ س + ثقتا أ س ظتا أس . دس = ١أ قتا أ س + ثمثال (١):جا ٩س . دس = ١٩ جتا ٩ س + ثمثال (٢):جتا ١٤ س . دس = ٤ جا ١٤ س + ثمثال (٣) :قا٢٦ س  جا ( ٦س+جـ) . د س الحل :١٦ ظا ٦ س  ١٦ جا ( ٦ س + جـ ) + ث

 

تكامل المتطابقات المثلثية :

قوانين:-

١/  ظا٢س = قا٢س  ١ ٢/ ظتا٢س = قتا٢س  ١ ٣/ جا٢س = ١٢ (١جتا ٢ س)٤/ جتا٢س = ١٢ (١+جتا٢س)٥/ جا ٢س = ٢ جا س جتا س ٦/ جا أ جتا ب = ١٢ ( جا (أ+ب) + جا (أب) )٧/ جتا أ جا ب = ١٢ ( جا (أ+ب)  جا (أب) )٨/ جتا أ جتا ب = ١٢ ( جتا (أ+ب) + جتا (أب) )٩/ جا أ جا ب = ١٢ ( جتا (أ+ب)  جتا (أب) )مثال (١) :جتا٢ س . دس الحل :جتا٢س =١٢ (١+جتا٢س)           =١٢( ١+جتا ٢س ) .د س           = ١٢ س+ ١٢ جا ٢س  + ث           = ١٢ س + ١٢ جا ٢ س + ث مثال (٢) :جا ٨ س جتا ٣ س . دس الحل : ١٢ ( جا (أ+ب) + جا (أب) )جا ٨ س جتا ٣ س . دس = ١٢ (جا (٨س + ٣س ) + جا (٥س٣س) .دس                                    = ١٢  جا ١١س + جا ٥س . دس                                    = ١٢ ١١١جتا ١١س  ١٥جتا ٥س + ث                                  = ١٢٢ جتا ١١س  ١١٠ جتا٥س + ث 

تكامل القوس :-

تكامل القوس يستخدم عندما تكون الدالة من الدرجة الأولى على صورة (أس+ب) وتكون مرفوعه لقوة (ن) مثل 

(أس+ب)ن

القانون : 

(أس+ب)ن .دس = ١  (أس+ب)ن١أ  ن+١ + ثحيث أ ، ب ثابتين

مثال :(٢س+٣)٥ .دس الحل :١٢ (٢س+٣)٦٦ + ث = (٢س+٣)٦١٢ + ث

التطبيقات الهندسية في التكامل :-

التطبيقات الهندسية في التكامل تعني إيجاد معادلة المنحنى ما اذا علم ميل المماس له عند اي نقطة (س،ص)

الميل = دصدس       دصدس=صمثال :اوجد معادلة المنحنى ص=د(س) الذي ميله يساوي ٣س٢+١ ويمر بالنقطة (١،٥) جد معادلته ص =٣س٢+١ص = س٣+س+ث٥  = (١)٣+(١) + ثث = ٥٢=٣معادلة المنحنى هي  :ص = س٣+س+٣

 

التطبيقات في الحركة :-

اذا كانت (ف) ترمز للمسافة اللحظية ، (ع) ترمز للسرعة اللحظية ، (جـ) ترمز للعجلة اللحظية ، ن ترمز للزمن بالثواني ، فان 

جـ تكامل ع تكامل ف

قوانين الحركة:-

اذا تحرك جسم من السكون او نقطة الاصل (و) او نقطة ثابته (أ) فإن : 

ف = صفر ، ع = صفر ، جـ = صفر ، ف = صفر 

— عند اقصى ارتفاع او اقصى بعد او مسافة ع = صفر 

— عندما يتوقف الجسم عن الحركة او يسكن لحظياً ع = صفر 

— عند اقصى سرعة للجسم جـ = صفر

–عندما يعود الجسم لنقطة الانطلاق او نقطة البداية ف = صفر

عند السرعة الابتداية للجسم ن = صفر ، السرعة الابتدائية = صفر 

مثال :

تتحرك نقطة مادية في خط مستقيم بعجلة قدرها

(١٨٢ن) متر/ث٢

في نهاية زمن قدره ن ثانية فاذا بدأت الحركة من نقطة ثاتة بسرعة ابتدائية قدرها

٢٠

متر /ث جد سرعتها وبعدها عن النقطة الثابنية في نهاية زمن قدره 

٣

ثواني 

الحل:

جـ = ١٨٢ن ع = (١٨٢ن) . دس = ١٨ ن  ن٢+ ثع = ٢٠      ن = ٠٢٠ = ١٨× ٠  ٠ + ثث = ٢٠ع = ١٨ن  ن٢+٢٠ عند ن = ٣ ع = ١٨×٣(٣)٢ + ٢٠ = ٦٥ متر/ثف =  ١٨ن  ن٢+ ٢٠ . دسف = ٩ن٢١٣ن٣+٢٠ن+ثف=صفر         عند ن =صفر        ث= صفرف=٩ن٢١٣ن٣ + ٢٠ن

التكامل بالتعويض:-يستخدم التكمل بالتعويض لحل المسائل التي يمكن ان تكاملها بالقوانين المباشرة 

خطوات الحل :

— نعوض عن دالة التي يوجد مشتقة لها بــ (ع) اذا كانت مرفوعه لقوه او داخل جذر ثم نفاضلها.

— نضع الدالة الثانية ثم نختصرها.

مثال :س (س+٨)١٠. دس ضع ع = س+٨ دعدس = ١دع = دس س=ع٨(ع٨)ع١٠=ع١١٨غ١٠.دع١١٢ ع١٢٨١١ ع١١+ ث    ١١٢(س+٨)١٢٨١١(س+٨)١١+ ث

التكامل بالتجزئة :

يستخدم هذا النوع من التكامل اذا لم نستطع ان نكامل المسائل بالقوانين او بالتعويض

اذا كان ع ، ل دالتين في س فإن :

ع×دلدس . دس = ع لل×دعدس . دس

مثال :

جد س جتا س .دسالحل:ع .دلدس . دس = ع ل   ل . دعدس . دسع=س د لد س  = جتا سدعدس= ١ل = جا س  س جتا س . دس = س جا س جاس ×١                           = س جا س  جا س . دس =س جا س + جتا س + ث 

التكامل المحدد :

افترض ص = د (س) = دالة معرفة في الفترة [ا ، ب]

افترض ص = د (س) = دالة معرفة في الفترة [ا ، ب]أبد(س) . دس = ر (ب)  ر(أ)مثال : ١٢(س٢+٢) .دس١٣س٣+٢ س=١٣(٣)٣٢×٣  ١٣(٠)٣٢(٠)١٣س٣+٢ س = ١٣×٢٧  ٦ =٩٦ = ٣

 

بعض خواص التكامل المحدد :-

١/ اذا كانت قيمة ه نقطة بين أ ، ب فإن أبد(س) . دس = أهد(س) . دس + هبد(س) . دس مثال :٢٥د(س) . دس = ٢٣د(س) . دس + ٣٥د(س) . دس ٢/ أبد(س) . دس = أبد(ٍس) . دسلأن : أبد(س) . دس =ر(ب)  ر(أ)                        = [ر(أ)ر(ب)]                        = بأ د(س) . دس٣اذا كانت س=ت(ع)  فإن د س = تَ (ع)  د ع عليه فإن أبد(س) . دس =قكد(ت(ع)) تَ (ع) د ع حيث أ=ت(ق)   ،    ب=ت(ك)عند استخدام طريقة التكامل بالتعويض يتغير التغير بتغير حدا التكامل تبعاً للمتغير الجديد٤/ اذا كانت د(س) دالة زوجية  د(س) = د(س) فإن :أأد(س) . دس = ٢٠أد(س) . دس د(س) = اسن    حيث     ن = ٢،٤،٦،....د(س) = جتاس٥/ اذا كانت د(س) دالة فردية  د(س) = د(س)أأد(س) . دس = صفر د(س) = أسن     حيث  ن=١،٣،٥،....د(س) = جاس         د(س) = ظاس

 

الردود

لن يتم نشر عنوان بريدك الإلكتروني. الحقول الإلزامية مشار إليها بـ *